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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 4: Límites y Continuidad

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1. Calcule los siguientes límites
f) lim⁡x→+∞x+sen⁡xx−cos⁡x\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x+\operatorname{sen} x}{x-\cos x}

Respuesta

Fijate que tenemos una indeterminación de tipo "infinito sobre infinito", si sacamos factor común "el que manda", es decir, la xx:
lim⁡x→+∞x(1+sin⁡(x)x)x(1−cos⁡(x)x) \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x(1 + \frac{\sin(x)}{x})}{x(1 - \frac{\cos(x)}{x})} Cancelamos las xx... lim⁡x→+∞1+sin⁡(x)x1−cos⁡(x)x \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{1 + \frac{\sin(x)}{x}}{1 - \frac{\cos(x)}{x}} Y ahora, nos quedaron estos límites como cálculos auxiliares: lim⁡x→+∞sin⁡(x)x=lim⁡x→+∞sin⁡(x)⋅1x \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{\sin(x)}{x} = \lim_{x \rightarrow +\infty} \sin(x) \cdot \frac{1}{x} lim⁡x→+∞cos⁡(x)x=lim⁡x→+∞cos⁡(x)⋅1x \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{\cos(x)}{x} = \lim_{x \rightarrow +\infty} \cos(x) \cdot \frac{1}{x} En ambos casos, tenemos algo que tiende a cero multiplicando a una función que está acotada. En clase vimos que "Cero x acotada = Cero", perfecto, ambos límites nos dan 00. Entonces... lim⁡x→+∞x+sin⁡(x)x−cos⁡(x)=1\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x+\sin(x)}{x-\cos(x)} = 1
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Fernández
20 de febrero 20:28
 Hola flor!! No sé si lo razoné bien.
Yo hice esto: -1ero: indeterminación "inf/inf"
                       -2do: saco factor común x (me quedó igual a vos)
                       -3ero: cuando remplazo denuevo con infInito en el nominador factorizado digo "sen(x) osea algo acotado, osea un número dividido infinito es = 0 (el mismo razonamiento con el cos(X)) entonces me queda 1/1.
Si bien llegamos al mismo resultado no sé si lo estoy plantando bien, no llego a entender lo que vos hiciste como 3er paso 
0 Responder
Flor
PROFE
22 de febrero 15:26
@Fernández Holaaaa! Cómo va? El razonamiento está perfecto y muy bien encaminado! 

Lo que yo hice para justificar que esos límites dan 0 fue reescribirlo, para que se note bien que tenemos un "cero por acotada". Es decir, tener sin(x)/x es lo mismo que tener sin(x) multiplicando a 1/x (eso se ve?) Entonces, como sin(x) está acotada y 1/x tiende a cero, tenemos "cero por acotada" así que ese límite da cero. 

Las dos maneras de pensarlo están bien, peeero para mí la que puse yo en el ejercicio es un poco más fácil si tuvieras que justificarlo en el parcial (vos estás preparandote para la cursada del primer cuatri o para el final choice?). Vos simplemente reescribis el límite, y podés poner " = 0 por cero por acotada" y va a estar bien, seguís avanzando. En cambio, transformar lo que vos escribiste ahí en el comentario a algo más formal para dejar la justificación escrita en el parcial me parece que se vuelve un poco más largo. 

Igual, repito, vale oro que ya te hayas dado cuenta que eso tenía que tender a cero usando ese razonamiento, así uno ya va ganando intuición de a dónde tienden ciertos límites, para ajustar y ver cómo lo escribimos lindo en el parcial hay tiempo... bah, a menos que estés preparando el final de cátedra única y en ese caso olvidate, porque no vas a tener que entregar ningún desarrollo :)

Avisame si se entendió :D
0 Responder
Fernández
23 de febrero 12:28
@Flor sí flor, muchas gracias. Sos una genia!!!
Espero que para el cuatri que viene tengas uno de análisis de la carrera, porque explicás DEMASIADO BIEN (aparte de ser súper copada :))
1 Responder